Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{3}$ , $y (0) = 9$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 6 x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 6 x^{3} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 6 \int x^{3} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ comme $6 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (3)}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{3}{2} x^{4} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $9$ dans $y = \frac{3}{2} x^{4} + K$ .

$9 = \frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K = 9$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K = 9$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 + K = 9$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $0$ .

$0 + K = 9$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 9$

Étape 5

Remplacez $K$ par $9$ dans $y = \frac{3}{2} x^{4} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $9$ .

$y = \frac{3}{2} x^{4} + 9$

Étape 5.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{4}}{2} + 9$