Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = 8 - 3 x$ ; , $x (0) = 4$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{8 - 3 x}$ .

$\frac{1}{8 - 3 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{8 - 3 x} (8 - 3 x)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $8 - 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8 - 3 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{8 - 3 x} (8 - 3 x)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8 - 3 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{8 - 3 x} d x = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{8 - 3 x} d x = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 8 - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 8 - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $8 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 - 3 x]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int d t$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d t$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int d t$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int d t$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |) = t + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |)) = - 3 (t + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 8 - 3 x |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 8 - 3 x |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 8 - 3 x |)}{3}) = - 3 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 8 - 3 x |)}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- \ln (| 8 - 3 x |)}{3} = - 3 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 8 - 3 x |)}{3} = - 3 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 8 - 3 x |)}{3} = - 3 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 8 - 3 x |) = - 3 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 8 - 3 x |) = - 3 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 8 - 3 x |)$ par $1$ .

$\ln (| 8 - 3 x |) = - 3 (t + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 8 - 3 x |) = - 3 t - 3 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 8 - 3 x |)} = e^{- 3 t - 3 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 8 - 3 x |) = - 3 t - 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 t - 3 C} = | 8 - 3 x |$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 8 - 3 x | = e^{- 3 t - 3 C}$ .

$| 8 - 3 x | = e^{- 3 t - 3 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$8 - 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C} - 8$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $- 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C} - 8$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = \pm e^{- 3 t - 3 C} - 8$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3} + \frac{- 8}{- 3}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3} + \frac{- 8}{- 3}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3} + \frac{- 8}{- 3}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{- 3}$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{3} + \frac{- 8}{- 3}$

Étape 3.5.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C}}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\pm e^{- 3 t - 3 C} + 8}{3}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \frac{\pm e^{- 3 t + C} + 8}{3}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- 3 t + C}$ comme $e^{- 3 t} e^{C}$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3 t} e^{C} + 8}{3}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 3 t}$ et $e^{C}$ .

$x = \frac{\pm e^{C} e^{- 3 t} + 8}{3}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$x = \frac{C e^{- 3 t} + 8}{3}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $x$ par $4$ dans $x = \frac{C e^{- 3 t} + 8}{3}$ .

$4 = \frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} = 4$ .

$\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} = 4$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{C e^{- 3 \cdot 0} + 8}{3} \cdot 3$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1.1.1.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{C e^{0} + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Étape 6.3.1.1.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{C \cdot 1 + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Étape 6.3.1.1.1.3

Multipliez $C$ par $1$ .

$\frac{C + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{C + 8}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Étape 6.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$C + 8 = 4 \cdot 3$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$C + 8 = 12$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$C = 12 - 8$

Étape 6.4.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$C = 4$

Étape 7

Remplacez $C$ par $4$ dans $x = \frac{C e^{- 3 t} + 8}{3}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $4$ .

$x = \frac{4 e^{- 3 t} + 8}{3}$

Étape 7.2

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{- 3 t} + 8$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{- 3 t}$ .

$x = \frac{4 (e^{- 3 t}) + 8}{3}$

Étape 7.2.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 e^{- 3 t} + 4 \cdot 2}{3}$

Étape 7.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{- 3 t} + 4 \cdot 2$ .

$x = \frac{4 (e^{- 3 t} + 2)}{3}$