Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} - \frac{\sin (y)}{y^{2}} = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $\frac{\sin (y)}{y^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $\frac{2 x y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{2 y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $x$ et $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 y}{y^{2}} x = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (y) d y}$ , où $P (y) = \frac{2 y}{y^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2 y}{y^{2}} d y}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{2 \ln (| y |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (y)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (y^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$y^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2 y}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2}{y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{2}{y}$ et $x$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y (2 x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = \sin (y)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] = \sin (y)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d y} [y^{2} x] d y = \int \sin (y) d y$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$y^{2} x = \int \sin (y) d y$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$y^{2} x = - \cos (y) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $y^{2} x = - \cos (y) + C$ par $y^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} x = - \cos (y) + C$ par $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$