Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = y + t^{3}$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} - y = t^{3}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d t}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- t + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- t}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- t}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} t^{3}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = t^{3} e^{- t}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = t^{3} e^{- t}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int t^{3} e^{- t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- t} y = \int t^{3} e^{- t} d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t^{3}$ et $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (3 t^{2}) d t$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - 3 e^{- t} t^{2} d t$

Étape 7.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - (- 3 \int e^{- t} t^{2} d t)$

Étape 7.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 \int e^{- t} t^{2} d t$

Étape 7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t^{2}$ et $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (2 t) d t)$

Étape 7.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - 2 e^{- t} t d t)$

Étape 7.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - (- 2 \int e^{- t} t d t))$

Étape 7.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 \int e^{- t} t d t)$

Étape 7.9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t))$

Étape 7.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t))$

Étape 7.11

Simplifiez

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Étape 7.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t))$

Étape 7.11.2

Multipliez $\int e^{- t} d t$ par $1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t))$

Étape 7.12

Laissez $u = - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.12.1

Laissez $u = - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.12.1.1

Différenciez $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Étape 7.12.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.12.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u))$

Étape 7.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u))$

Étape 7.14

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$

Étape 7.15

Réécrivez $t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$ comme $- t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$

Étape 7.16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ par $e^{- t}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ par $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $- t^{3}$ par $1$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t} - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.6

Factorisez $e^{- t}$ à partir de $- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$ .

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Étape 8.3.1.2.6.1

Factorisez $e^{- t}$ à partir de $- t^{2} e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.6.2

Factorisez $e^{- t}$ à partir de $- 2 t e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.6.3

Factorisez $e^{- t}$ à partir de $- 2 e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.6.4

Factorisez $e^{- t}$ à partir de $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.2.6.5

Factorisez $e^{- t}$ à partir de $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.3.2

Divisez $3 (- t^{2} - 2 t - 2)$ par $1$ .

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2} - 2 t - 2) + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2}) + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.5

Simplifiez

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Étape 8.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.5.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.1.5.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t - 6 + \frac{C}{e^{- t}}$