Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} + 3 x y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x y^{3}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 3 x y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x y^{3}$ par rapport à $y$ est $3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x (3 y^{2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 9 x y^{2}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 y^{2} x + 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 1 - x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y$

Étape 2.4

Soustrayez $y$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $9 y^{2} x + 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$9 y^{2} x + 2 y = - y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$9 y^{2} x + 2 y = - y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $9 y^{2} x + 2 y$ .

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- y - (9 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $- y$ .

$\frac{- 9 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $3 y$ à partir de $- 9 y^{2} x - 3 y$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $3 y$ à partir de $- 9 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- 3 y x) - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y (- 3 y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} (1 + 3 x y)$ .

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- 3 y x - 1)}{y (1 + 3 x y)}$

Étape 4.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 (- 3 x y - 1)}{y (3 x y + 1)}$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun à $- 3 x y - 1$ et $3 x y + 1$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x y$ .

$\frac{3 (- (3 x y) - 1)}{y (3 x y + 1)}$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (3 x y) - 1 (1))}{y (3 x y + 1)}$

Étape 4.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

Étape 4.3.6.4

Réécrivez $- (3 x y + 1)$ comme $- 1 (3 x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

Étape 4.3.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

Étape 4.3.6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Étape 4.3.8

Remplacez $M$ par $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

$- \frac{3}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y^{2} + 3 x y^{3}$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + 3 x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y^{2} + 3 x y^{3}$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $1 - x y$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $1 - x y$ par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + \frac{1 - x y}{y^{3}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + 3 x y}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{1 + 3 x y}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{3 x y}{y} d x$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

Étape 8.3.2

Divisez $3 x$ par $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int 3 x d x$

Étape 8.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int 3 x d x$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{y}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int 3 x d x$

Étape 8.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 \int x d x$

Étape 8.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.8

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x}{y} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 8.9

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.4

Comme $\frac{3}{2} x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.6.2

Associez des termes.

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Étape 11.6.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.6.2.2

Additionnez $- \frac{x}{y^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 11.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{1 - x y}{y^{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Pour écrire $\frac{d g}{d y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - (1 - x y)}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 \cdot 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.3

Multipliez $- (- x y)$ .

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Étape 12.1.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 1 (x y)}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Pour écrire $- \frac{x}{y^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.1.1.6.1

Multipliez $\frac{x}{y^{2}}$ par $\frac{y}{y}$ .

$- \frac{x y}{y^{2} y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.6.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.6.2.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 12.1.1.6.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x y}{y^{2} y^{1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x y}{y^{2 + 1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.6.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{x y}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x y + \frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1.8.1

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 0}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.8.2

Additionnez $\frac{d g}{d y} y^{3} - 1$ et $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1}{y^{3}} = 0$

Étape 12.1.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 = 0$

Étape 12.1.3

Résolvez l’équation pour $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$

Étape 12.1.3.2

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ par $y^{3}$ et simplifiez.

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Étape 12.1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ par $y^{3}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

Étape 12.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 12.1.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

Étape 12.1.3.2.2.1.2

Divisez $\frac{d g}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{y^{3}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Étape 13.3

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (y) = \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Étape 13.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 13.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Étape 13.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$g (y) = \int y^{- 3} d y$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{- 2} + C$

Étape 13.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.6.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 13.6.2

Simplifiez

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Étape 13.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C$

Étape 13.6.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 \cdot y^{2}} + C$

Étape 13.6.2.3

Multipliez $2$ par $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

Étape 15

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$