Calcul infinitésimal Exemples

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 (2 y) + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.7

Comme $5 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 x y$ par rapport à $y$ est $5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.12

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + \frac{d}{d y} [4])$

Étape 1.13

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + 0)$

Étape 1.14

Additionnez $4 y + 5 x - 2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2)$

Étape 1.15

Simplifiez

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Étape 1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Étape 1.15.2

Associez des termes.

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Étape 1.15.2.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Étape 1.15.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x + 2 \cdot - 2$

Étape 1.15.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x - 4$

Étape 1.15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 10 x + 8 y - 4$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (2 x + 2 y - 1)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 x + 2 y - 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [2 x + 2 y - 1] + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2 y - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.8.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 2 + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot x + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + (2 x + 2 y - 1) \cdot 1$

Étape 2.3.10

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.10.1

Multipliez $2 x + 2 y - 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 x + 2 y - 1$

Étape 2.3.10.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 y - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $10 x + 8 y - 4$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x + 2 y - 1$ .

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $10 x + 8 y - 4$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x + 2 y - 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x (2 x + 2 y - 1)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x (2 x + 2 y - 1)$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x) - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $4 x$ de $10 x$ .

$\frac{6 x + 8 y - 4 - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $8 y$ .

$\frac{6 x + 6 y - 4 + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.5

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\frac{6 x + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.6

Factorisez $3$ à partir de $6 x + 6 y - 3$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{3 (2 x) + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $6 y$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.6.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.6.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (2 y)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.2.6.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $2 x + 2 y - 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x^{3}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ par $x^{3}$ .

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (2 y^{2}) + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 y^{2} + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 8) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x y x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{3 + 1} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x (2 x + 2 y - 1)$ par $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) x^{3} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.7.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 6.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x^{1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3 + 1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.7.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{4} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Étape 6.8

Appliquez la propriété distributive.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.9

Simplifiez

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Étape 6.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Étape 6.9.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Étape 6.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.10.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.10.1.1

Déplacez $x$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x \cdot x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Étape 6.10.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 6.10.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x^{1} x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Étape 6.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{1 + 4} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Étape 6.10.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Étape 6.10.2

Réécrivez $- 1 x^{4}$ comme $- x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x^{5} d y + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Étape 8.3

Comme $2 x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{4}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} \int y d y + \int - x^{4} d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{4} d y$

Étape 8.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{4} y + C$

Étape 8.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{4} y + C$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5} y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$2 y (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.3.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 y x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{4} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 y x^{4} + y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.4.3

Déplacez $4$ à gauche de $y^{2}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ .

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Étape 11.5.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.5.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 11.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 10 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $10 x^{4} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y$

Étape 12.1.2

Soustrayez $4 x^{3} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2}$

Étape 12.1.3

Ajoutez $4 x^{3} y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Étape 12.1.4

Associez les termes opposés dans $4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$ .

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Étape 12.1.4.1

Soustrayez $10 x^{4} y$ de $10 x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Étape 12.1.4.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 y^{2} x^{3}$ et $- 4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Étape 12.1.4.4

Soustrayez $4 x^{3} y^{2}$ de $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 + 4 x^{3} y$

Étape 12.1.4.5

Additionnez $- 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Étape 12.1.4.6

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 4 y x^{3}$ et $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x^{3} y + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Étape 12.1.4.7

Additionnez $- 4 x^{3} y$ et $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3} + 0$

Étape 12.1.4.8

Additionnez $8 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $8 x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 8 x^{3} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 8 x^{3} d x$

Étape 13.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 8 \int x^{3} d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{8}{4} x^{4} + C$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 13.5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Étape 13.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C$

Étape 13.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

Étape 13.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{4} + C$

Étape 13.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$g (x) = 2 x^{4} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + 2 x^{4} + C$