Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = y + 5 t$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} - y = 5 t$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = - 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d t}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- t + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- t}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- t}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} (5 t)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} (5 t)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = 5 t e^{- t}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = 5 t e^{- t}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int 5 t e^{- t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- t} y = \int 5 t e^{- t} d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = 5 \int t e^{- t} d t$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t)$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t)$

Étape 7.4.2

Multipliez $\int e^{- t} d t$ par $1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t)$

Étape 7.5

Laissez $u = - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Étape 7.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 7.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u)$

Étape 7.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$

Étape 7.8

Réécrivez $5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$ comme $5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$

Étape 7.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ par $e^{- t}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ par $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5 (- t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{- 5 (t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{- 5 t e^{- t} - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 t e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t})$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Étape 8.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)}{e^{- t}}$

Étape 8.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

Étape 8.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.3.6.1

Réécrivez $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ comme $- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

Étape 8.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C}{e^{- t}}$