Calcul infinitésimal Exemples

$x v d v - (1 + v^{2}) d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $(1 + v^{2}) d x$ aux deux côtés de l’équation.

$x v d v = (1 + v^{2}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (1 + v^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x v$ .

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x (v)) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + v^{2}} v d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 + v^{2}}$ et $v$ .

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $1 + v^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $1 + v^{2}$ à partir de $x (1 + v^{2})$ .

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{v}{1 + v^{2}} d v = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = 1 + v^{2}$ . Alors $d u = 2 v d v$ , donc $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = 1 + v^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [1 + v^{2}]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + v^{2}$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Étape 4.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Étape 4.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 v$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 v$ .

$2 v$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + v^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $v$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + v^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Étape 5.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Étape 5.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Étape 5.5

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Étape 5.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}$

Étape 5.7

Résolvez $v$ .

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Étape 5.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Étape 5.7.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Étape 5.7.3

Simplifiez

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Étape 5.7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Étape 5.7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + v^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Étape 5.7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + v^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Étape 5.7.4

Résolvez $v$ .

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Étape 5.7.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Étape 5.7.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Étape 5.7.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$