Calcul infinitésimal Exemples

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Étape 3.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

Étape 3.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Étape 3.7.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Étape 3.7.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

Étape 3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

Étape 3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

Étape 3.7.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Étape 3.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Étape 3.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Étape 3.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Étape 3.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

Étape 3.7.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u}}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Étape 4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez

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Étape 4.3.5.2.1

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.5.2.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.5.2.2.1

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.5.2.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.5.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.5.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Étape 4.3.5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.5.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.5.3.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3.5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.5.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.5.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 4.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2

Simplifiez

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Étape 4.3.7.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7.2.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 5.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Étape 5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 5.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Réécrivez $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ comme $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$