Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} - y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - y$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - y}{x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - y}{x}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y + y \cdot - 1}{x}$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 1)}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y (y - 1)}$ .

$\frac{1}{y (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 1)} \cdot \frac{y (y - 1)}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y (y - 1)$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 1)} \cdot \frac{y (y - 1)}{x}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.2.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $y (y - 1)$ .

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 2.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5.1.2

Divisez $A (y - 1)$ par $1$ .

$1 = A (y - 1) + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5.4

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5.5

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 2.2.1.1.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A y - A + \frac{B (y (y - 1))}{y - 1}$

Étape 2.2.1.1.5.5.2

Divisez $(B) (y)$ par $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y)$

$1 = A y - A + B y$

Étape 2.2.1.1.6

Déplacez $- A$ .

$1 = A y + B y - A$

Étape 2.2.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $y$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 2.2.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $y$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A$

Étape 2.2.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Étape 2.2.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.2.1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = - 1 A$ .

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Étape 2.2.1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2.2.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Étape 2.2.1.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.1.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Étape 2.2.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 2.2.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B$ par $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Étape 2.2.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Étape 2.2.1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 + B$ .

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Étape 2.2.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Étape 2.2.1.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Étape 2.2.1.3.4

Résolvez le système d’équations.

$B = 1 A = - 1$

Étape 2.2.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$B = 1, A = - 1$

Étape 2.2.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}$

Étape 2.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Laissez $u = y - 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.5.1

Laissez $u = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.5.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 2.2.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$- \ln (| y |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 1$ .

$- \ln (| y |) + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |}) = \ln (| x |) + C$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $C$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |}) = C + \ln (| x |)$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |}) - \ln (| x |) = C$

Étape 3.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| y - 1 |}{| y |}}{| x |}) = C$

Étape 3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{| y - 1 |}{| y |} \cdot \frac{1}{| x |}$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{| y - 1 |}{| y |}$ par $\frac{1}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y | | x |}) = C$

Étape 3.6.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y x |}) = C$

Étape 3.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| y x |})} = e^{C}$

Étape 3.8

Réécrivez $\ln (\frac{| y - 1 |}{| y x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| y x |}$

Étape 3.9

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y - 1 |}{| y x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 1 |}{| y x |} = e^{C}$

Étape 3.9.2

Multipliez les deux côtés par $| y x |$ .

$\frac{| y - 1 |}{| y x |} | y x | = e^{C} | y x |$

Étape 3.9.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.3.1

Annulez le facteur commun de $| y x |$ .

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Étape 3.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y - 1 |}{| y x |} | y x | = e^{C} | y x |$

Étape 3.9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y - 1 | = e^{C} | y x |$

Étape 3.9.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.4.1

Réécrivez l’équation comme $e^{C} | y x | = | y - 1 |$ .

$e^{C} | y x | = | y - 1 |$

Étape 3.9.4.2

Divisez chaque terme dans $e^{C} | y x | = | y - 1 |$ par $e^{C}$ et simplifiez.

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Étape 3.9.4.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{C} | y x | = | y - 1 |$ par $e^{C}$ .

$\frac{e^{C} | y x |}{e^{C}} = \frac{| y - 1 |}{e^{C}}$

Étape 3.9.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{C}$ .

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Étape 3.9.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{C} | y x |}{e^{C}} = \frac{| y - 1 |}{e^{C}}$

Étape 3.9.4.2.2.1.2

Divisez $| y x |$ par $1$ .

$| y x | = \frac{| y - 1 |}{e^{C}}$

Étape 3.9.4.3

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$

$y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$

$- y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$

$- y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$

Étape 3.9.4.4

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$

$y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$

Étape 3.9.4.5

Résolvez $y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$ pour $y$ .

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Étape 3.9.4.5.1

Multipliez les deux côtés par $e^{C}$ .

$y x e^{C} = \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$

Étape 3.9.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{C}$ .

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Étape 3.9.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x e^{C} = \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$

Étape 3.9.4.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x e^{C} = y - 1$

Étape 3.9.4.5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.4.5.3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x e^{C} - y = - 1$

Étape 3.9.4.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y x e^{C} - y$ .

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Étape 3.9.4.5.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x e^{C}$ .

$y (x e^{C}) - y = - 1$

Étape 3.9.4.5.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot - 1 = - 1$

Étape 3.9.4.5.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x e^{C}) + y \cdot - 1$ .

$y (x e^{C} - 1) = - 1$

Étape 3.9.4.5.3.3

Divisez chaque terme dans $y (x e^{C} - 1) = - 1$ par $x e^{C} - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.9.4.5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x e^{C} - 1) = - 1$ par $x e^{C} - 1$ .

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 1}{x e^{C} - 1}$

Étape 3.9.4.5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.4.5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x e^{C} - 1$ .

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Étape 3.9.4.5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 1}{x e^{C} - 1}$

Étape 3.9.4.5.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{x e^{C} - 1}$

Étape 3.9.4.5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.4.5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

Étape 3.9.4.6

Résolvez $y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$ pour $y$ .

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Étape 3.9.4.6.1

Multipliez les deux côtés par $e^{C}$ .

$y x e^{C} = - \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$

Étape 3.9.4.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.4.6.2.1

Simplifiez $- \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$ .

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Étape 3.9.4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{C}$ .

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Étape 3.9.4.6.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y - 1}{e^{C}}$ dans le numérateur.

$y x e^{C} = \frac{- (y - 1)}{e^{C}} e^{C}$

Étape 3.9.4.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y x e^{C} = \frac{- (y - 1)}{e^{C}} e^{C}$

Étape 3.9.4.6.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y x e^{C} = - (y - 1)$

Étape 3.9.4.6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y x e^{C} = - y - - 1$

Étape 3.9.4.6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y x e^{C} = - y + 1$

Étape 3.9.4.6.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.4.6.3.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$y x e^{C} + y = 1$

Étape 3.9.4.6.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y x e^{C} + y$ .

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Étape 3.9.4.6.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x e^{C}$ .

$y (x e^{C}) + y = 1$

Étape 3.9.4.6.3.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y (x e^{C}) + y = 1$

Étape 3.9.4.6.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot 1 = 1$

Étape 3.9.4.6.3.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y (x e^{C}) + y \cdot 1$ .

$y (x e^{C} + 1) = 1$

Étape 3.9.4.6.3.3

Divisez chaque terme dans $y (x e^{C} + 1) = 1$ par $x e^{C} + 1$ et simplifiez.

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Étape 3.9.4.6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x e^{C} + 1) = 1$ par $x e^{C} + 1$ .

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Étape 3.9.4.6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.4.6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x e^{C} + 1$ .

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Étape 3.9.4.6.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Étape 3.9.4.6.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Étape 3.9.4.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{1}{x C - 1}$

$y = \frac{1}{x C + 1}$