Calcul infinitésimal Exemples

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{2}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Étape 3.4

Comme $\frac{2}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$1 = 1$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 = 1$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Étape 6

Intégrez $M (x, y) = y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y x + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Étape 9.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

Étape 10.1.2

Associez les termes opposés dans $x + \frac{2}{y} - x$ .

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Étape 10.1.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

Étape 10.1.2.2

Additionnez $\frac{2}{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Étape 11

Déterminez la primitive de $\frac{2}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Étape 11.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Étape 11.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Étape 11.5

Simplifiez

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Étape 12

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Étape 13.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$