Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = - 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez $u = - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1.1

Laissez $u = - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Étape 6.1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 6.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

Étape 6.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

Étape 6.3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

Étape 6.4

Simplifiez

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

Étape 6.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ par $e^{- t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ par $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ .

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

Étape 9.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$- 1 + C = 1$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 1 + 1$

Étape 9.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$C = 2$

Étape 10

Remplacez $C$ par $2$ dans $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $2$ .

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$