Calcul infinitésimal Exemples

$6 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$6 y d y = 5 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 6 y d y = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$3 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ par $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.3.1.3

Associez.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

Étape 3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour écrire $\frac{K}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{K}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{9}}$

Étape 3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{9}}$

Étape 3.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}}$

Étape 3.3.5

Réécrivez $\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $5 x^{3} + 3 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Étape 3.3.5.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.3.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)}$

Étape 3.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{5 x^{3} + 3 K}$

Étape 3.3.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{5 x^{3} + 3 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$