Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} - 2 x y + 6) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 2 x y + 6$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $y$ est $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 1.4

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $2 y - 2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x y + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.5

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

Étape 2.9

Additionnez $2 x - 2 y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

Étape 2.10.2

Associez des termes.

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x + 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x + 2 y$ .

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Étape 5.4

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2 x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

Étape 5.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

Étape 5.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

Étape 5.8

Simplifiez

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.5

Comme $- y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.7

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.3.10

Additionnez $2 y x - y^{2}$ et $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.5.2

Associez des termes.

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Étape 8.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.5.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 8.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2}$

Étape 9.1.2

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 0 + 2 x y$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $- 2 x y + 6$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 2 x y$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 6$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $0$ et $6$ .

$\frac{d g}{d x} = 6$

Étape 10

Déterminez la primitive de $6$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 6$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 d x$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 6 x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 6 x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $- (- x y^{2})$ .

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 6 x + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 6 x + C$