Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 y - x^{2} y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y - x^{2} y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 3 - x^{2} y$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 3 + y (- x^{2})$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = y (3 - x^{2})$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (3 - x^{2}))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (3 - x^{2}))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 3 - x^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (3 - x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 3 - x^{2} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 3 - x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 3 d x + \int - x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C}$

Étape 3.3.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C}$ comme $e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x}$