Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.3.2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + K$