Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y d y}{t d t} = e^{t^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{y}{t} \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{d y}{d t}$ .

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{y}{t}$ et $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} = e^{t^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez les deux côtés par $t$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Étape 1.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Étape 1.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}} t$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{t^{2}} t$ .

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Étape 1.2.4

Divisez chaque terme dans $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.1

Divisez chaque terme dans $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ par $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = t e^{t^{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int t e^{t^{2}} d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t e^{t^{2}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = t^{2}$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{t^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = e^{t^{2}} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + K}$