Calcul infinitésimal Exemples

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $t$ aux deux côtés de l’équation.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ par $t^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ par $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $t$ et $t^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $t$ et $t^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.3.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.2

Pour écrire $\frac{y}{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $t^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{y}{t}$ par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.3.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Étape 1.2.5

Pour écrire $\frac{1}{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

Étape 1.2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $t^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

Étape 1.2.6.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

Étape 1.2.6.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

Étape 1.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

Étape 1.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Étape 1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.8.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

Étape 1.2.8.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Étape 2.3.2

Multipliez $(1 + t) t^{- 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $t^{- 2}$ par $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $t$ par $t^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $t$ par $t^{- 2}$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Étape 2.3.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Étape 2.3.3.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $t^{- 1}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| t |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| t |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ .

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Étape 3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Étape 3.5.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{1}{t} + C}$ comme $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{1}{t}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$