Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Étape 2.3

Multipliez $e^{3 x}$ par $e^{- 2 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Étape 6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Étape 6.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

Étape 6.5

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 6.5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 6.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

Étape 6.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

Étape 6.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

Étape 6.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Étape 6.8.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Étape 6.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

Étape 6.10

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

Étape 6.11

Simplifiez

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

Étape 6.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ par $e^{3 x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ par $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{3} x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.2.2

Divisez $- \frac{1}{9}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.3

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{3 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.3.1

Factorisez $e^{3 x}$ à partir de $e^{x}$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.1.3.2.4

Divisez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $\frac{1}{9}$ de $\frac{1}{3} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.2.2

Pour écrire $x \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.2.3

Associez $x \frac{1}{3}$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.4

Pour écrire $e^{- 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.1

Déplacez $9$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.7

Pour écrire $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Étape 7.3.8

Pour écrire $\frac{C}{e^{3 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 7.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9 e^{3 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.9.1

Multipliez $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ par $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 7.3.9.2

Multipliez $\frac{C}{e^{3 x}}$ par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Étape 7.3.9.3

Réorganisez les facteurs de $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 7.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 7.3.11

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 7.3.11.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.11.2.1

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $e^{3 x}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.11.2.1.1

Déplacez $e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 7.3.11.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 7.3.11.2.1.3

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 7.3.11.2.2

Réécrivez $- 1 e^{3 x}$ comme $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Étape 7.3.11.3

Déplacez $9$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$