Calcul infinitésimal Exemples

$y e^{x} d x + e^{x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $y e^{x} d x$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} d y = - y e^{x} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{x} y}$ .

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} y$ .

$\frac{1}{e^{x} (y)} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y e^{x}$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{x} y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y e^{x}$ à partir de $e^{x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} (1)} (y e^{x}) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} \cdot 1} (y e^{x}) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = - 1 d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 1 d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d x$

Étape 4.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - x + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x + C}$

Étape 5.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = | y |$

Étape 5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- x + C}$ .

$| y | = e^{- x + C}$

Étape 5.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x + C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Réécrivez $e^{- x + C}$ comme $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x} e^{C}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x}$

Étape 6.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- x}$