Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de Bernoulli.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

Étape 1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Étape 5.5

Simplifiez

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 5.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.2.1

Multipliez $v^{\frac{1}{2}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 5.6.2.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 5.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 5.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 5.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.14

Placez $v^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 5.15

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Étape 5.16

Associez $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Étape 5.17

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Étape 5.18

Multipliez $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Étape 5.19

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Étape 5.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 5.21

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 5.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 5.23

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{2}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 7.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ par $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ par $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 7.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.2

Factorisez $2 v^{\frac{3}{2}}$ à partir de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4

Multipliez $v^{- \frac{1}{2}}$ par $v^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.2.1.4.1

Déplacez $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.4.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.5

Simplifiez $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x \cdot 2} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.8

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2 \cdot x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.9

Associez $v$ et $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.2.1.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{v}{2 x}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10.3

Factorisez $2$ à partir de $- 1 \cdot (2)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.10.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} \cdot - 1 = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.11

Associez $\frac{- v}{x}$ et $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v \cdot - 1}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1 v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.2.1.13

Multipliez $v$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 7.1.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 1 \cdot 2 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - (5 x^{3}) {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1.1.3.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 7.1.1.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.4.2.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.1.1.3.4.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.4.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.5

Multipliez $v^{- \frac{3}{2}}$ par $v^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.3.5.1

Déplacez $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Étape 7.1.1.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Étape 7.1.1.3.5.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{0}{2}}$

Étape 7.1.1.3.5.5

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{0}$

Étape 7.1.1.3.6

Simplifiez $- 5 x^{3} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3}$

Étape 7.1.2

Factorisez $v$ à partir de $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - 5 x^{3}$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - 5 x^{3}$

Étape 7.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 7.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 7.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 7.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 7.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 7.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- 5 x^{3})$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- 5 x^{3})$

Étape 7.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x \cdot x^{3}$

Étape 7.3.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x)$

Étape 7.3.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 7.3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x^{1})$

Étape 7.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{3 + 1}$

Étape 7.3.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{4}$

Étape 7.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x v] = - 5 x^{4}$

Étape 7.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - 5 x^{4} d x$

Étape 7.6

Intégrez le côté gauche.

$x v = \int - 5 x^{4} d x$

Étape 7.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.7.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$x v = - 5 \int x^{4} d x$

Étape 7.7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x v = - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 7.7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.7.3.1

Réécrivez $- 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ comme $- 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x v = - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Étape 7.7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.7.3.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$x v = \frac{- 5}{5} x^{5} + C$

Étape 7.7.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 7.7.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5} x^{5} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.7.3.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} x^{5} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} x^{5} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x v = \frac{- 1}{1} x^{5} + C$

Étape 7.7.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$x v = - x^{5} + C$

Étape 7.8

Divisez chaque terme dans $x v = - x^{5} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.8.1

Divisez chaque terme dans $x v = - x^{5} + C$ par $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.8.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 7.8.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{5}$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.8.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{- x^{4}}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 7.8.3.1.2.5

Divisez $- x^{4}$ par $1$ .

$v = - x^{4} + \frac{C}{x}$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = - x^{4} + \frac{C}{x}$