Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y + 3 x - y - 3)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y + 3 x) - y - 3}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 3) - (y + 3)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{x y - 2 x + 4 y - 8}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{(x y - 2 x) + 4 y - 8}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{x (y - 2) + 4 (y - 2)}$

Étape 1.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y - 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 3) (x - 1)}{(y - 2) (x + 4)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x + 4} \cdot \frac{y + 3}{y - 2}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{y - 2}{y + 3}$ .

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} (\frac{x - 1}{x + 4} \cdot \frac{y + 3}{y - 2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 4}$ par $\frac{y + 3}{y - 2}$ .

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(x + 4) (y - 2)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y - 2$ à partir de $(x + 4) (y - 2)$ .

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(y - 2) (x + 4)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 2}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{(y - 2) (x + 4)}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(x - 1) (y + 3)}{x + 4}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y + 3$ à partir de $(x - 1) (y + 3)$ .

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(y + 3) (x - 1)}{x + 4}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{(y + 3) (x - 1)}{x + 4}$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 2}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x + 4}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{y - 2}{y + 3} d y = \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y - 2}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez $y - 2$ par $y + 3$ .

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Étape 2.2.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$3$

$y$

$2$

Étape 2.2.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	-	$2$

Étape 2.2.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			+	$y$	+	$3$

Étape 2.2.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$

Étape 2.2.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	-	$2$
			-	$y$	-	$3$
					-	$5$

Étape 2.2.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int \frac{5}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - (5 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y + C_{1} - 5 \int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.7

Laissez $u_{1} = y + 3$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.7.1

Laissez $u_{1} = y + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.7.1.1

Différenciez $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Étape 2.2.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.7.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - 5 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez

$y - 5 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 3$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x + 4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $x - 1$ par $x + 4$ .

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Étape 2.3.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$x$

$1$

Étape 2.3.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	-	$1$

Étape 2.3.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$4$

Étape 2.3.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 4$

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$4$

Étape 2.3.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$4$
					-	$5$

Étape 2.3.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 4} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 4} d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 4} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 4} d x$

Étape 2.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Étape 2.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 4} d x$

Étape 2.3.7

Laissez $u_{2} = x + 4$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Laissez $u_{2} = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.7.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 2.3.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.7.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 4$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 4 |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y - 5 \ln (| y + 3 |) = x - 5 \ln (| x + 4 |) + C$