Calcul infinitésimal Exemples

$(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ par $3 + x^{12}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ par $3 + x^{12}$ .

$\frac{(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{3 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3 + x^{12}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{3 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{3 + x^{12}}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{x^{11}}{y}$ par $\frac{1}{3 + x^{12}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{11}}{3 + x^{12}} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{x^{11}}{3 + x^{12}}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{(3 + x^{12}) y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(3 + x^{12}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $x^{12}$ comme ${(x^{12})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{3 + {(x^{12})}^{1}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{1} = x^{12}$ . Alors $d u_{1} = 12 x^{11} d x$ , donc $\frac{1}{12} d u_{1} = x^{11} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{1} = x^{12}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{12}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$12 x^{11}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 + u_{1}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{3 + u_{1}}$ par $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(3 + u_{1}) \cdot 12} d u_{1}$

Étape 2.3.3.3

Déplacez $12$ à gauche de $3 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{12 (3 + u_{1})} d u_{1}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{3 + u_{1}} d u_{1}$

Étape 2.3.5

Laissez $u_{2} = 3 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u_{2} = 3 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $3 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 + u_{1}]$

Étape 2.3.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.3.5.1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $3$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.3.5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + u_{1} |) + C_{2}$

Étape 2.3.8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{12}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $\ln (| 3 + x^{12} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + C \cdot \frac{12}{12})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + \frac{C \cdot 12}{12})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{12}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 (6)}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Étape 3.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{6}$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $12$ à gauche de $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 3.4.3.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 3.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 3.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 3.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 3.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6}$

Étape 3.4.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + C)}}{6}$