Calcul infinitésimal Exemples

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Étape 1.2.2

Comme $\tan (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- \sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \sin (x) \sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Soustrayez $\sin (x) \cos (y)$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

Étape 1.4.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Étape 2.2

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\cos (x) \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Étape 2.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- \cos (y) \sin (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \cos (y) \sin (x)$ .

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , placez $\cos (x)$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

Étape 5.2

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

Étape 5.3

Simplifiez

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $\sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\cos (x) \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 8.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1.1.1

Simplifiez $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

Étape 9.1.1.1.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Ajoutez $\sin (x) \sin (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Étape 9.1.2.2

Associez les termes opposés dans $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 9.1.2.2.1

Additionnez $- \sin (x) \sin (y)$ et $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

Étape 9.1.2.2.2

Additionnez $\tan (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.1.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Étape 10

Déterminez la primitive de $\tan (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$