Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 1$ ; when $y (0) = 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (3 x^{2} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$y + C_{1} = x^{3} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{3} - x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $4$ dans $y = x^{3} - x + K$ .

$4 = 0^{3} - 0 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $0^{3} - 0 + K = 4$ .

$0^{3} - 0 + K = 4$

Étape 4.2

Simplifiez $0^{3} - 0 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 0 + K = 4$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Étape 4.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + K = 4$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 4$

Étape 5

Remplacez $K$ par $4$ dans $y = x^{3} - x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$y = x^{3} - x + 4$