Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 y - 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Étape 3.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $\frac{x^{3}}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Étape 3.2.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Étape 3.2.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $3$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{3}}{3}$ dans le numérateur.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Étape 3.3.3

Déplacez $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Étape 3.3.4

Déplacez $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Étape 3.3.5

Remettez dans l’ordre $3 y^{2}$ et $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 3$ et $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4

Simplifiez

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Étape 3.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4.3

Multipliez $- 15$ par $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $3$ à partir de $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.4

Factorisez $3$ à partir de $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.6

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.7

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(0, 11)$ , ne tenez compte que de $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $11$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.1.1.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.1.1.1.3

Multipliez $60$ par $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.1.1.1.4

Additionnez $3 + 0 + K$ et $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.1.1.1.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.1.1.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre $3$ et $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $11$ par $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Étape 6.4

Résolvez $K$ .

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Étape 6.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{3 (K + 3)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Étape 6.4.1.2

Soustrayez $3$ de $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Étape 6.4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (K + 3)}$ comme ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Étape 6.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.3.2.1

Simplifiez ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Étape 6.4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Étape 6.4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Étape 6.4.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Étape 6.4.3.2.1.3

Multipliez.

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Étape 6.4.3.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Étape 6.4.3.2.1.3.2

Simplifiez

$3 K + 9 = 63^{2}$

Étape 6.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.3.1

Élevez $63$ à la puissance $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Étape 6.4.4

Résolvez $K$ .

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Étape 6.4.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.1.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$3 K = 3969 - 9$

Étape 6.4.4.1.2

Soustrayez $9$ de $3969$ .

$3 K = 3960$

Étape 6.4.4.2

Divisez chaque terme dans $3 K = 3960$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 K = 3960$ par $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Étape 6.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Étape 6.4.4.2.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Étape 6.4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.4.2.3.1

Divisez $3960$ par $3$ .

$K = 1320$

Étape 7

Remplacez $K$ par $1320$ dans $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Additionnez $3$ et $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Étape 7.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$