Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} (e^{x + 2} {(2 - y)}^{2})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(2 - y)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez ${(2 - y)}^{2}$ à partir de $e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x + 2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = e^{x + 2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.4.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.4.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ comme $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.6.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{x + 2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 - y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$2 - y, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 - y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ par $2 - y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ par $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 - y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = e^{x + 2} \cdot 2 + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x + 2}$ .

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K (2 - y)$

Étape 3.2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K \cdot 2 + K (- y)$

Étape 3.2.3.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 \cdot K + K (- y)$

Étape 3.2.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$

Étape 3.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$ .

$2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2 e^{x + 2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1 - 2 e^{x + 2}$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $2 K$ des deux côtés de l’équation.

$- y e^{x + 2} - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{x + 2} - K y$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{x + 2}$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- K y$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K)$ .

$y (- 1 e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Étape 3.3.4

Réécrivez $- 1 e^{x + 2}$ comme $- e^{x + 2}$ .

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Étape 3.3.5

Divisez chaque terme dans $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ par $- e^{x + 2} - K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ par $- e^{x + 2} - K$ .

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Étape 3.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- e^{x + 2} - K$ .

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Étape 3.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Étape 3.3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Étape 3.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Étape 3.3.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Étape 3.3.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} + K} - \frac{K}{- e^{x + 2} + K}$