Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{4}$ .

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{5}}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Étape 5.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

Étape 5.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

Étape 5.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 5.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 5.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

Étape 5.4.2.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ comme $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Étape 5.6.2

Simplifiez

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Étape 5.6.2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\ln (x)$ .

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Étape 5.6.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{5}$ et $x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Étape 5.6.2.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

Étape 5.6.2.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{25}$ .

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

Étape 6.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.1.2.5

Divisez $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{5}}{25}$ dans le numérateur.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{5}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ .

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$