Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $x = e^{r t}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Étape 2.5

Factorisez $e^{r t}$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Étape 2.5.2

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Étape 2.5.3

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Étape 2.5.4

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $5 e^{r t}$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

Étape 2.5.5

Factorisez $e^{r t}$ à partir de $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

Étape 2.6

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $10$ de $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $r^{2} + 4 r - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

Étape 3.5

Définissez $r - 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $r - 1$ égal à $0$ .

$r - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 1$

Étape 3.6

Définissez $r + 5$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $r + 5$ égal à $0$ .

$r + 5 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 5$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r - 1) (r + 5) = 0$ vraie.

$r = 1, - 5$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

Étape 6

Multipliez $t$ par $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$