Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

Étape 1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 1$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d t}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{t + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{t}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{t}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

Étape 3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t^{2}$ et $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

Étape 7.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Étape 7.5

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Étape 7.6

Réécrivez $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ comme $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ par $e^{t}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ par $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- 2 t$ par $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 8.3.1.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$