Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $37 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{37 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{37}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{37}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37}{x} y = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{37}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{37}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{37}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $37$ est constant par rapport à $x$ , placez $37$ en dehors de l’intégrale.

$e^{37 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{37 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{37 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{37 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{37})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{37}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{37}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} (\frac{37}{x} y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{37}{x}$ et $y$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{36} (37 y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{36} \cdot 7 + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $7$ à gauche de $x^{36}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 \cdot x^{36} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{35} \cdot - 47$

Étape 3.3.4

Déplacez $- 47$ à gauche de $x^{35}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{37} y] = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{37} y] d x = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Étape 7.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$x^{37} y = 7 \int x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{36}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{37} x^{37}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) + \int - 47 x^{35} d x$

Étape 7.4

Comme $- 47$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 47$ en dehors de l’intégrale.

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 \int x^{35} d x$

Étape 7.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{35}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{36} x^{36}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 (\frac{1}{36} x^{36} + C)$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Simplifiez

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37}) x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Étape 7.6.2

Simplifiez

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Étape 7.6.2.1

Associez $7$ et $\frac{1}{37}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Étape 7.6.2.2

Associez $- 47$ et $\frac{1}{36}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} + \frac{- 47}{36} x^{36} + C$

Étape 7.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ par $x^{37}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ par $x^{37}$ .

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{37}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{37}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $\frac{7}{37}$ par $1$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{36}$ et $x^{37}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $x^{36}$ à partir de $- \frac{47}{36} x^{36}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.2.1

Factorisez $x^{36}$ à partir de $x^{37}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36}}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{47}{36}$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{x \cdot 36} + \frac{C}{x^{37}}$

Étape 8.3.1.5

Déplacez $36$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36 x} + \frac{C}{x^{37}}$