Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{18 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{9 x^{8}}{18 y}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $18 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{9 x^{8}}{y \cdot 18}$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{9 x^{8}}{y \cdot 18}$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{18}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $18$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x^{8}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{9 (x^{8})}{18}$

Étape 1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{9 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{9 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{8}}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x^{8}}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x^{8}}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{8}}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{8} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 9} x^{9} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{18} x^{9} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{18} x^{9} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{18} x^{9} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{9} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{9} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{9} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{18} x^{9} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{18}$ et $x^{9}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{9}}{18} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{9}}{18} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{9}}{2 (9)} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x^{9}}{2 \cdot 9} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{x^{9}}{9} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{9}}{9} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{9}}{9} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{9}}{9} + 2 K \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 3.4.2

Associez $2 K$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{9}}{9} + \frac{2 K \cdot 9}{9}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{9} + 2 K \cdot 9}{9}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $9$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{9} + 18 K}{9}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\frac{x^{9} + 18 K}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (x^{9} + 18 K)$ .

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Étape 3.4.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x^{9} + 18 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{9} + 18 K)}{9}}$

Étape 3.4.5.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{9} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.4.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x^{9} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x^{9} + 18 K)}$

Étape 3.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x^{9} + 18 K}$

Étape 3.4.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{x^{9} + 18 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{9} + 18 K}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{x^{9} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{9} + K}}{3}$