Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x e^{- x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x e^{- x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x e^{- x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x e^{- x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Réécrivez $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$ comme $- x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{- x} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - e^{- x} x - e^{- x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - e^{- x} x - e^{- x} + K$