Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{r}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $r$ à partir de $r \tan (θ)$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{r}$ par rapport à $r$ est $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

Étape 3.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

Étape 3.4

Pour résoudre $r$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

Étape 3.6

Résolvez $r$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $| r \sec (θ) | = e^{C}$ .

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

Étape 3.6.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

Étape 3.6.3

Divisez chaque terme dans $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ par $\sec (θ)$ et simplifiez.

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Étape 3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ par $\sec (θ)$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Étape 3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (θ)$ .

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Étape 3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Étape 3.6.3.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Étape 3.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.3.1

Séparez les fractions.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Étape 3.6.3.3.2

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Étape 3.6.3.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

Étape 3.6.3.3.4

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

Étape 3.6.3.3.5

Divisez $\pm e^{C}$ par $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

Étape 3.6.3.3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ .

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$r = \cos (θ) C$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $θ$ par $π$ et $r$ par $2$ dans $r = \cos (θ) C$ .

$2 = \cos (π) C$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\cos (π) C = 2$ .

$\cos (π) C = 2$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $\cos (π) C = 2$ par $\cos (π)$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $\cos (π) C = 2$ par $\cos (π)$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (π)$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Séparez les fractions.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Étape 6.2.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (π)}$ à $\sec (π)$ .

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

Étape 6.2.3.3

Divisez $2$ par $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

Étape 6.2.3.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$C = 2 (- \sec (0))$

Étape 6.2.3.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.3.6

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$C = - 2$

Étape 7

Remplacez $C$ par $- 2$ dans $r = \cos (θ) C$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $- 2$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

Étape 7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$