Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + {(\frac{y}{x})}^{2}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 1 + V^{2}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 1 + V^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + 1 + V^{2} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + 1 + V^{2} - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2} + 0$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $1 + V^{2}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $1 + V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ par rapport à $V$ est $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $V$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$