Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - y + x - 1}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - y) + x - 1}{x^{2} - 4}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} - 4}$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (y + 1)}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $y + 1$ à partir de $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Étape 1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Étape 1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.3.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.3.1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Étape 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 2.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 2.3.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.5.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 2.3.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$x - 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.6.1.2

Divisez $(A) (x - 2)$ par $1$ .

$x - 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x - 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.6.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $A$ .

$x - 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.6.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 2.3.1.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 2.3.1.1.6.4.2

Divisez $(B) (x + 2)$ par $1$ .

$x - 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Étape 2.3.1.1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$x - 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Étape 2.3.1.1.6.6

Déplacez $2$ à gauche de $B$ .

$x - 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Étape 2.3.1.1.7

Déplacez $- 2 A$ .

$x - 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Étape 2.3.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.3.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 2.3.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Étape 2.3.1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Étape 2.3.1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.3.1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Étape 2.3.1.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Étape 2.3.1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $- 1 = - 2 A + 2 B$ par $1 - B$ .

$- 1 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.2.2.1

Simplifiez $- 2 (1 - B) + 2 B$ .

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Étape 2.3.1.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 1 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.2.2.1.2

Additionnez $2 B$ et $2 B$ .

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.3

Résolvez $B$ dans $- 1 = - 2 + 4 B$ .

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Étape 2.3.1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 + 4 B = - 1$ .

$- 2 + 4 B = - 1$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1.3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$4 B = - 1 + 2$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $4 B = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 B = 1$ par $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Étape 2.3.1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - B$ par $\frac{1}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.4.2.1

Simplifiez $1 - (\frac{1}{4})$ .

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Étape 2.3.1.3.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{4 - 1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.4.2.1.3

Soustrayez $1$ de $4$ .

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{1}{4}$

Étape 2.3.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Étape 2.3.1.5.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{x - 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.4.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 2.3.7

Laissez $u_{3} = x - 2$ . Puis $d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 2.3.7.1

Laissez $u_{3} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 2.3.7.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 2.3.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.7.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C_{3})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Étape 2.3.10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Étape 2.3.10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x - 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $\ln (| x + 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Étape 3.1.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (| x - 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ par $4$ .

$\ln (| y + 1 |) \cdot 4 = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (| y + 1 |)$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Étape 3.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Étape 3.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C \cdot 4$

Étape 3.2.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $4 \ln (| y + 1 |)$ .

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez $4 \ln (| y + 1 |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln ({| y + 1 |}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Étape 3.3.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y + 1 |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez $3 \ln (| x + 2 |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3}) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) + 4 C$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) - \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = 4 C$

Étape 3.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$

Étape 3.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |})} = e^{4 C}$

Étape 3.8

Réécrivez $\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Étape 3.9

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$

Étape 3.9.2

Multipliez les deux côtés par ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Étape 3.9.3

Simplifiez

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Étape 3.9.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.3.1.1

Annulez le facteur commun de ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

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Étape 3.9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Étape 3.9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Étape 3.9.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$

Étape 3.9.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.9.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Étape 3.9.4.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

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Étape 3.9.4.2.1

Réécrivez $e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ comme ${(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$ .

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Étape 3.9.4.2.1.1

Réécrivez $e^{4 C}$ comme ${(e^{C})}^{4}$ .

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Étape 3.9.4.2.1.2

Ajoutez des parenthèses.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)}$

Étape 3.9.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y + 1 = \pm e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Étape 3.9.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.9.4.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y + 1 = e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Étape 3.9.4.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Étape 3.9.4.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Étape 3.9.4.3.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y + 1 = - e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Étape 3.9.4.3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Étape 3.9.4.3.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Étape 3.9.4.3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$