Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{3 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x^{2}}{3 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x^{2}}{y \cdot 3}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x^{2}}{y \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2}}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{5 x^{2}}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{5 x^{2}}{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{5 x^{2}}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{5}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{9} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{5}{9} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{5}{9} x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{5}{9}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{5 x^{3}}{9} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2 \frac{5 x^{3}}{9}$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $2$ et $\frac{5 x^{3}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{2 (5 x^{3})}{9} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$y^{2} = \frac{10 x^{3}}{9} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{10 x^{3}}{9} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{10 x^{3}}{9} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{10 x^{3}}{9} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{10 x^{3}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{5 x^{3}}{9} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{5 x^{3}}{9} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{5 x^{3}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3} + K \cdot 9}{9}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $9$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{5 x^{3} + 9 K}{9}}$

Étape 3.4.5

Associez $2$ et $\frac{5 x^{3} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (5 x^{3} + 9 K)}{9}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\frac{2 (5 x^{3} + 9 K)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))$ .

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Étape 3.4.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $2 (5 x^{3} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}{9}}$

Étape 3.4.6.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.4.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (5 x^{3} + 9 K))}$

Étape 3.4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}$

Étape 3.4.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + 9 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{3} + K)}}{3}$