Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$ , $I (0) = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 5$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 5 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{5 t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{5 t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{5 t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

Étape 2.3

Déplacez $10$ à gauche de $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

Étape 6.2

Laissez $u = 5 t$ . Alors $d u = 5 d t$ , donc $\frac{1}{5} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 5 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 6.2.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 6.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Étape 6.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

Étape 6.7

Simplifiez

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

Étape 6.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t$ .

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ par $e^{5 t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ par $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{5 t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $I$ par $1$ .

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{5 t}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Étape 7.3.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $I$ par $0$ dans $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ .

$0 = 2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$ .

$2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Étape 9.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 0$

Étape 9.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$2 + C = 0$

Étape 9.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$C = - 2$

Étape 10

Remplacez $C$ par $- 2$ dans $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $- 2$ .

$I = 2 + \frac{- 2}{e^{5 t}}$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$I = 2 - \frac{2}{e^{5 t}}$