Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} y^{3} + y + x - 2) d x + (x^{3} y^{2} + x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{2} y^{3} + y + x - 2$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + y + x - 2]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{3} + y + x - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2} y^{3}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.4.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + 0$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Additionnez $3 x^{2} y^{2} + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $3 x^{2} y^{2} + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2} + x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{3} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + 1$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2} y^{2} + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2} y^{2} + 1$ .

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} + x d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} d y + \int x d y$

Étape 5.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{3} \int y^{2} d y + \int x d y$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x d y$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x y + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{y^{3}}{3} + C) + x y + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + C$

Étape 5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{x^{3}}{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{y^{3}}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3} y^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3.5

Associez $3$ et $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3.6

Associez $\frac{3 y^{3}}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.3.7.2

Divisez $y^{3} x^{2}$ par $1$ .

$y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{3} x^{2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{3} x^{2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.4.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x^{2} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y^{3} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$ .

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Étape 9.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x^{2} y^{3}$ et $- y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x^{2} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $y^{3} x^{2}$ de $y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 + 0 - y$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $y + x - 2$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 - y$

Étape 9.1.3.4

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 + 0$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $x - 2$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2$

Étape 10

Déterminez la primitive de $x - 2$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x - 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x - 2 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x - 2 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x d x + \int - 2 d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x$

Étape 10.5

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C$

Étape 10.6

Simplifiez

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Étape 12.2

Associez $\frac{x^{3}}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Étape 12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C$