Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} d y - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{y^{3}}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Étape 2.4

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$

Étape 2.6

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{3}}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{x} (3 y^{2})$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{1}{x} y^{2}$

Étape 2.8.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3}{x} y^{2}$

Étape 2.8.3

Associez $\frac{- 3}{x}$ et $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2}}{x}$

Étape 2.8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{3 y^{2}}{x}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- \frac{3 y^{2}}{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- \frac{3 y^{2}}{x}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $y^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $y^{2}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{y^{2}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $- \frac{3 y^{2}}{x}$ et $0$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x}}{y^{2}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 y^{2}}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{x}$

Étape 5.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.2

Associez $- x^{2}$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- x^{2} x - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- (x^{1} x^{2}) - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- x^{1 + 2} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{- x^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4.4

Réécrivez $- x^{3}$ comme ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{\frac{{(- x)}^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = - x$ et $b = y$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- x)}^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4.6

Simplifiez

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Étape 7.4.4.6.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4.6.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (1 x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.4.4.6.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.6

Associez.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x \cdot x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.7.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 7.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1} x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1 + 3}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.7.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.8

Multipliez $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ par $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(- (x) - (y)) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.12

Réécrivez $- (x + y)$ comme $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 7.14

Multipliez $y^{2}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 7.15

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $\frac{1}{x^{3}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{3}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $3$ par $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Étape 9.3.2.4

Associez $\frac{1}{3 x^{3}}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $\frac{y^{3}}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 12.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 12.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.8

Associez $- 3$ et $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.9

Associez $\frac{- 3 y^{3}}{3}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.10

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.11

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 12.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Ajoutez $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.3.1

Développez $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 13.1.1.3.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1.3.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1.3.2.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.6

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1.3.2.6.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 13.1.1.3.2.6.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.2.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ .

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Étape 13.1.1.3.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- x^{2} y$ et $y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3.2

Additionnez $- x^{2} y$ et $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3.3

Additionnez $x^{3} + x y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y^{2}$ et $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3.5

Soustrayez $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.3.3.6

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- y^{3} + x^{3} + y^{3}$ .

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Étape 13.1.1.4.1

Additionnez $- y^{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.4.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3}}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 13.1.1.5.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{4}} = 0$

Étape 13.1.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.5.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Étape 13.1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Étape 13.1.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Étape 13.1.2

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- \frac{1}{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 14.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Étape 14.5

Simplifiez

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} - \ln (| x |) + C$