Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 6 x + 2$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (6 x) + x \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (6 x) + x \cdot 2$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (6 x) + x \cdot 2$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (6 x) + x \cdot 2$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x \cdot x + x \cdot 2$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1

Déplacez $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 (x \cdot x) + x \cdot 2$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + x \cdot 2$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 x$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 x$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 x d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 x d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x$

Étape 6.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Étape 6.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x$

Étape 6.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Simplifiez

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 6.6.2

Simplifiez

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Étape 6.6.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 6.6.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 6.6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 6.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 6.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 6.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 6.6.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 6.6.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$x y = 2 x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 6.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x y = 2 x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 6.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x y = 2 x^{3} + 1 x^{2} + C$

Étape 6.6.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.5

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = 2 x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$y = 2 x^{2} + x + \frac{C}{x}$