Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ comme $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.2

Développez $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.3.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.3.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.4

Simplifiez $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.6

Simplifiez $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 2.3.1.3.1.8

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.8.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Étape 2.3.1.3.1.8.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.1.3.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.1.3.1.10

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.4

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.7

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.8

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Alors $d u_{2} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.8.1

Laissez $u_{2} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.8.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.3.8.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.3.8.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 2.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.9.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Étape 2.3.13

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Étape 2.3.14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Étape 2.3.14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Étape 2.3.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + K$