Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Soustrayez $\frac{x}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Ajoutez $\frac{y}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} = \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $\frac{x}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{- 1}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{- 1}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V}$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $V + \frac{1}{V} - V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 0$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $\frac{1}{V}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V (\frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $V$ à partir de $V x$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V (x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$V d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V$ par rapport à $V$ est $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} V^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $V^{2}$ .

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$V^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 6.3.3

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Étape 6.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Étape 6.3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 6.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 6.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 6.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Étape 8.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Étape 9

Résolvez $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Étape 9.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Étape 9.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Étape 10

Indiquez les solutions.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$