Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{y + \ln (x)}{x}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $\frac{y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

Étape 3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

Étape 3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Étape 7.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Étape 7.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Étape 7.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Étape 7.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

Simplifiez

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Étape 7.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ par $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.5.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Étape 7.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Étape 7.7

Réécrivez $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ comme $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Ajoutez $\frac{\ln (x)}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

Étape 8.1.2

Ajoutez $\frac{1}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

Étape 8.1.3

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Étape 8.1.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $\frac{\ln (x)}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

Étape 8.2.3

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez

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Étape 8.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (x)}{x}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.2.1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

Étape 8.4.2.1.3

Déplacez $- 1$ .

$y = - \ln (x) + C x - 1$

Étape 8.4.2.1.4

Remettez dans l’ordre $- \ln (x)$ et $C x$ .

$y = C x - \ln (x) - 1$