Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d q} = \frac{2000}{\sqrt{300 q}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d r = \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d r = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2000$ est constant par rapport à $q$ , placez $2000$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{300 q}} d q$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 300 q$ . Alors $d u = 300 d q$ , donc $\frac{1}{300} d u = d q$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 300 q$ . Déterminez $\frac{d u}{d q}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $300 q$ .

$\frac{d}{d q} [300 q]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $300$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $300 q$ par rapport à $q$ est $300 \frac{d}{d q} [q]$ .

$300 \frac{d}{d q} [q]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $300$ par $1$ .

$300$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{300} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{300}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 300} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $300$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{300 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{300}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{300}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = 2000 (\frac{1}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{300}$ et $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{2000}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $2000$ et $300$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $100$ à partir de $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{100 (20)}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $100$ à partir de $300$ .

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $\frac{20}{3}$ et $2$ .

$r + C_{1} = \frac{20 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $20$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $300 q$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$r = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + K$