Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y + 6 x) d x + (x^{2} + 4 y^{3}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y + 6 x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 6 x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + 6 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [6 x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $6 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} + 4 y^{3}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 y^{3}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Étape 2.4

Comme $4 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Étape 2.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$2 x = 2 x$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x = 2 x$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + 6 x d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 2 x y + 6 x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int 6 x d x$

Étape 5.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $2 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int 6 x d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x d x$

Étape 5.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x d x$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 5.7.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 6 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 5.7.5

Associez $6$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{6 x^{2}}{2} + C$

Étape 5.7.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 5.7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2} + C$

Étape 5.7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 5.7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 5.7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 x^{2}}{1} + C$

Étape 5.7.6.2.4

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x^{2}$ par rapport à $y$ est $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.3.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.4

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 8.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = x^{2} + 4 y^{3}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 4 y^{3} - x^{2}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 y^{3} - x^{2}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $4 y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $4 y^{3}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{3} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{3} d y$

Étape 10.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 4 \int y^{3} d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ comme $4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{4}{4} y^{4} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = 1 y^{4} + C$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$g (y) = y^{4} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + 3 x^{2} + y^{4} + C$