Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}) d x + (e^{x + y} - 2 x + 4) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Étape 1.2.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x + y$ .

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Étape 1.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 1.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 1.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 1.4.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + 1)$

Étape 1.4.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \cdot 1$

Étape 1.4.6

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y}$

Étape 1.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + e^{x + y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x + 4]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x + y} - 2 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.6

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $e^{x + y} - 2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 + e^{x + y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $e^{x + y} - 2$ .

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} - 2 x + 4 d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Étape 5.2

Laissez $u = x + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.1

Laissez $u = x + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.2.1.1

Différenciez $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Étape 5.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.2.1.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 5.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Étape 5.3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + \int 4 d y$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + 4 y + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = e^{u} - 2 x y + 4 y + C$

Étape 5.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Étape 8.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 8.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.3.6

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x + y} - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x + y} - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.5

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Additionnez $e^{x + y} - 2 y$ et $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 8.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - 2 y + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y$

Étape 9.1.2

Soustrayez $e^{x + y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$ .

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Étape 9.1.3.1

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0 + e^{x + y} - e^{x + y}$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + e^{x + y} - e^{x + y}$

Étape 9.1.3.3

Soustrayez $e^{x + y}$ de $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $3 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Étape 10.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + x^{3} + C$