Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ et $y (1) = - 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Étape 4

Comme $y$ est négatif dans la condition initiale $(1, - 3)$ , ne tenez compte que de $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $1$ et $y$ par $- 3$ .

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ .

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

Étape 5.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ comme ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.4

Multipliez ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.4

Simplifiez

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$2 + 2 K = 9$

Étape 5.4

Résolvez $K$ .

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Étape 5.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 K = 9 - 2$

Étape 5.4.1.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$2 K = 7$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $2 K = 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 K = 7$ par $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Étape 6

Remplacez $K$ par $\frac{7}{2}$ dans $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $K$ par $\frac{7}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

Étape 6.2

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

Étape 6.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

Étape 6.5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

Étape 6.6

Associez $2$ et $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ .

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Étape 6.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.7.1

Réduisez l’expression $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Étape 6.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

Étape 6.7.2

Divisez $2 x^{2} + 7$ par $1$ .

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$