Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ par $6 x - 2 x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ par $6 x - 2 x y$ .

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6 x - 2 x y$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d x}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x - 2 x y$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

Étape 1.1.3.1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

Étape 1.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $2 x$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{1}{3 - y}$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 x$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 3 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 3 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2.3.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - y$ .

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Étape 3.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Étape 3.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Étape 3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$