Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par ${(2 y + 1)}^{2}$ .

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(2 y + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = 4$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

${(2 y + 1)}^{2} d y = 4 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int {(2 y + 1)}^{2} d y = \int 4 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{2} d u = \int 4 d x$

Étape 2.2.2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{2}}{2} d u = \int 4 d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u^{2} d u = \int 4 d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1}) = \int 4 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1})$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

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Étape 2.2.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 1$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} = 4 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3}) = 6 (4 x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $6 (4 x + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x) + 6 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $6$ .

${(2 y + 1)}^{3} = 24 x + 6 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{24 x + 6 K}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez.

$2 y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Étape 3.4.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $6$ à partir de $24 x + 6 K$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $6$ à partir de $24 x$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $6$ à partir de $6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (4 x) + 6 K$ .

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x + K)}$

Étape 3.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1}{2}$